Neste ano, modelos de inteligência artificial vêm derrubando problemas em aberto da matemática, um após o outro, com eficiência implacável. A devastação aumentou no início de setembro, quando a OpenAI lançou 10 mil agentes sobre o problema de Navier-Stokes, solucionando-o em apenas 88 horas. Na semana passada, a empresa anunciou que o mesmo modelo interno já havia “resolvido mais de 100 problemas de longa data em quase todas as áreas da matemática” —resultados cuja divulgação a OpenAI estava adiando até descobrir “a melhor maneira de informar a comunidade sobre o rápido progresso, para preparar e adaptar a área”.
Alguns matemáticos, porém, agora traçam um limite: “adaptar a área”, acreditam eles, poderia esvaziá-la. Neste mês, 27 medalhistas Fields —vencedores da maior honraria da matemática— assinaram uma declaração conjunta afirmando que resolver problemas famosos em aberto não é, por si só, o objetivo. Esses problemas são “marcos e faróis”, escrevem eles, cujo propósito mais profundo é conduzir os matemáticos à compreensão conceitual e a novos insights.
Terence Tao, um dos signatários e um dos matemáticos vivos mais célebres, expressou a preocupação em termos mais graves. Ele descreveu o que está acontecendo como uma “mineração predatória” da matemática. Bons problemas, argumenta, são como recursos não renováveis. Alguns deles —os menores e mais fáceis— podem ajudar a formar a próxima geração de matemáticos. Jovens pesquisadores se aventuram a resolvê-los, aprendendo o que precisarão saber para fazer a área avançar. Se a IA eliminar os grandes problemas e aqueles que os orbitam, poderá destruir todo o ecossistema matemático. Tao sugeriu que talvez seja até necessário proteger algumas questões de solucionadores automatizados, como se fossem parques nacionais para problemas matemáticos.
Entre os entusiastas da IA, a declaração foi recebida na internet com muitas reviradas de olhos. Problemas matemáticos não existem para ser resolvidos? Se a IA consegue resolvê-los com mais rapidez e competência do que nós, isso não é progresso?
Visto de fora, o fato de os matemáticos insistirem na compreensão humana pareceu protecionismo corporativista —uma tentativa de reservar algo para si agora que as máquinas começam a vencê-los em seu próprio jogo.
Essa reação cética deixa escapar uma distinção existente na cultura matemática. Os medalhistas Fields são, em grande parte, matemáticos “puros”, estudiosos que voltam o olhar para a própria matemática, em busca de beleza, coerência e uma compreensão mais profunda de suas estruturas conceituais e abstrações.
Em contrapartida, matemáticos “aplicados” —como nós dois— tendem a olhar para fora, inspirando-se em problemas do mundo real e usando a matemática para ajudar a resolvê-los. E a longa história dessa busca, acreditamos, mostra como poderia ser custoso entregar às máquinas nossa compreensão da matemática.
Das equações às aplicações —e de volta às equações
Durante séculos, a ciência e a tecnologia avançaram por meio de um processo gradual, mas extraordinariamente bem-sucedido: observar padrões na natureza, descobrir os princípios subjacentes, expressar esses princípios matematicamente e então usá-los para prever o que acontecerá em seguida.
Isaac Newton mostrou o que esse processo era capaz de alcançar. Com um punhado de leis matemáticas, explicou tanto a queda de uma maçã quanto o movimento dos planetas. Trezentos anos depois, essas mesmas leis ajudaram a conduzir astronautas até a Lua e a trazê-los de volta em segurança.
Repetidas vezes, foi uma lenta troca entre equações e aplicações que impulsionou, em conjunto, a matemática e a engenharia. Veja a história da comunicação sem fio. No século 19, Michael Faraday descobriu leis empíricas sobre ímãs e correntes elétricas; James Clerk Maxwell então as traduziu para a linguagem matemática e previu a existência de ondas eletromagnéticas. Acompanhe o desenvolvimento desse conhecimento e, por fim, você chegará ao rádio, à televisão, à comunicação sem fio e aos telefones celulares.
Esse longo processo de tentativa e erro, e a compreensão humana a que levou, impulsionou todas as revoluções posteriores da física. A relatividade acabou tornando possível o GPS. A mecânica quântica levou aos lasers, aos transistores e a grande parte da eletrônica moderna. Com a compreensão veio a capacidade de previsão; com a previsão, veio o poder.
Em meados do século 20, cientistas e engenheiros se deparavam com problemas de dimensões assombrosas —variáveis demais, interações demais, cálculos demais para qualquer ser humano acompanhar. A Segunda Guerra Mundial levou a questão ao limite. Calcular trajetórias de artilharia, decifrar códigos, prever ondas de choque causadas por explosões e projetar armas atômicas exigia a aplicação da matemática em uma escala gigantesca e sem precedentes. As pessoas precisavam de ajuda.
Os computadores modernos chegaram bem a tempo. No início, não havia nada filosoficamente ameaçador neles. Eram máquinas de somar glorificadas: servos rápidos e incansáveis que, obedientemente, executavam cálculos árduos demais para qualquer ser humano realizar.
Depois da guerra, os computadores se disseminaram pela vida civil, ajudando empresas com contabilidade, bancos de dados, horários de voos e inúmeras outras tarefas. Nesse percurso, sua função começou a se ampliar. Quando quase tudo passou a poder ser representado por números, os computadores se tornaram processadores de dados, proporcionando-nos os milagres cotidianos que hoje tomamos como garantidos: fotografias digitais de nossos filhos, as músicas que levamos no bolso, as mensagens que enviamos ao redor do mundo.
O caminho até a “detecção comprimida”
Antes que percebêssemos, os computadores também estavam transformando a medicina.
Considere a ressonância magnética. Esses exames revelam os tecidos moles do corpo com um nível extraordinário de detalhe, algo que os raios-X não conseguem fazer, e sem expor os pacientes a radiação nociva. Os médicos os utilizam para diagnosticar desde tumores cerebrais e esclerose múltipla até lesões nos ligamentos e câncer.
Mas a ressonância magnética tem suas desvantagens. Um exame típico dura de 30 a 60 minutos, às vezes mais. Mexa-se demais, mude a posição de um pé ou respire fundo, e o técnico talvez tenha de reiniciar todo o exame. Crianças que não conseguem ficar paradas muitas vezes precisam ser sedadas para realizá-lo.
O exame de ressonância magnética é lento porque coleta uma quantidade imensa de dados. Ao contrário de um raio-X, que registra uma imagem em um único disparo, uma máquina de ressonância magnética funciona gradualmente. Ela constrói a imagem, uma parte de cada vez.
Mas e se a ressonância magnética não precisasse coletar todos esses dados para produzir uma imagem útil? E se uma fração dos dados bastasse para construir a imagem inteira, como se fossem preenchidas as lacunas?
Esse é o salto por trás de um avanço matemático conhecido como “detecção comprimida”. O insight fundamental é que uma imagem de ressonância magnética contém muito menos informação do que seu enorme número de pixels poderia sugerir. Partes vizinhas da imagem tendem a se parecer, e muitos de seus detalhes são matematicamente redundantes. Isso significa que não é necessariamente preciso medir tudo. Com a matemática adequada, um número surpreendentemente pequeno de medições pode bastar para reconstruir a imagem inteira.
Mas de onde veio esse avanço? Durante décadas, matemáticos, cientistas e engenheiros se debruçaram sobre um fato básico do mundo real: seus sinais e imagens são repletos de estrutura. Não são amontoados aleatórios de números; apresentam padrões complexos. Uma fotografia de uma paisagem, uma peça musical, o som de uma voz —cada qual contém regularidades matemáticas que permitem sintetizá-la de forma econômica. O segredo é encontrar os componentes fundamentais certos. Quando expresso nesses termos, um conjunto de dados naturais que parece exigir milhões de números às vezes pode se resumir a apenas um punhado de elementos.
O avanço ocorreu quando matemáticos, entre eles Emmanuel Candès, Tao e David Donoho, provaram rigorosamente que, sob as condições adequadas, a detecção comprimida podia reconstruir uma imagem com precisão a partir de um número espantosamente pequeno de medições. Essas garantias matemáticas transformaram a dúvida em ação e, pouco depois, Donoho e seus colaboradores Michael Lustig e John Pauly traduziram a teoria em um procedimento que os médicos podiam usar.
Os benefícios foram extraordinários. Em exames pediátricos, um procedimento que antes levava oito minutos e exigia sedação passou a poder ser feito em pouco mais de um minuto, com a criança acordada.
O custo da “mineração predatória” da compreensão
Para um matemático aplicado, é por isso que a compreensão humana importa. Ela nos permite tomar uma ideia brilhante desenvolvida em determinado contexto e empregá-la com segurança como ferramenta em outro. É a matemática fazendo o que o público, com razão, espera dela: produzindo efeitos no mundo real.
Agora, apenas para fins de argumentação, imagine que um modelo de IA pudesse contornar toda essa compreensão conquistada a duras penas e chegar diretamente a uma maneira muito mais rápida de realizar exames de ressonância magnética, sem esclarecer em nada como chegou lá. Do ponto de vista médico, seria um avanço maravilhoso.
Mas a história que acabamos de contar nos dá motivos para hesitar antes de declarar dispensável a compreensão humana. Não saberíamos o que poderíamos estar perdendo —que novas ideias, que caminhos inesperados
